麦克斯韦气体速率分布律

麦克斯韦气体速率分布律

1、麦克斯韦气体速度分布定律众所周知，气体分子的均方根速度可以由气体的温度公式得到。例如，氦气。氧。但我们应该注意到，均方根速度只是运动速率的统计平均值，并不是所有气体分子都以均方根速度运动。事实上，在任何处于平衡状态的气体中，每个分子都以不同的速率向各个方向移动。有些比率大于均方根比率，有些比率小于均方根比率。它们的比率可以取零到无穷大之间的任何值。而且，由于气体分子之间的碰撞，每个分子的速度都在不断变化，所以在某一时刻，对于某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而，对于大量分子作为一个整体，在平衡条件下，分子的速率分布服从

2、完全确定的统计分布规则是必然的。下面我们介绍麦克斯韦应用统计理论和方法推导出的分子速率分布规则。气体分子速度分布的统计规律是由麦克斯韦于1859年首先在概率论的基础上推导出来的。 1877年，玻尔兹曼也从经典统计力学中推导出了这一定律。由于技术条件的限制，测量气体分子速度分布的实验直到20世纪20年代才实现。 1920年，O. Stern首次测量了银蒸气分子的速度分布； 1934年，中国物理学家葛正全测量了铋蒸气分子的速度分布； 1955年，米勒和库什测量了钍蒸气的速度分布。分子的速率分布。斯特恩的实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布定律的实验。由于数学原因和本课程的要求，我们不会推导这个定律，而只是介绍它。

3、一些基本内容。 *麦克斯韦（JC，）英国物理学家，经典电磁理论创始人，气体动力学理论创始人之一。他提出了旋转电场和位移电流的概念，建立了包含电磁现象所有基本定律的经典电磁理论，并预言了以光速传播的电磁波的存在。 1873年，他的《电磁学通论》出版。本书凝聚了杜飞、弗兰·克莱因、库仑、奥斯特、安培和法拉第的努力。这是一部划时代的杰作，与牛顿时代的自然哲学密切相关。与数学原理保持同步，是人类探索电磁定律的里程碑。在气体动力学理论方面，他还提出了气体分子根据速度分布的统计规律。 1、测量气体分子速度的实验 1 实验装置 A 蒸汽源，常用汞蒸气 BC 速度选择器 D 显示器 2 实验原理

4. 当圆盘 B 和 C 以角速度旋转时，分子射线每旋转一次穿过圆盘一次。由于分子的速度不同，分子从B到C所需的时间也不同，所以并不是所有经过B的分子都能经过C到达显示屏D，只有速度满足下式的分子才能到达事实上，当B盘和C盘以角速度旋转时，只有速度为vv+v的分子才能在区间内到达显示屏D.分子。 3 实验结果 当圆盘以不同的角速率旋转时，每次沉积的金属层的厚度都可以从显示屏上测量出来。每次沉积的厚度对应于不同速率区间的分子数量。比较这些厚度，就可以知道不同速率区间的分子数与分子射线中分子总数的比值，即分子的相对数。 1）分子数占分子总数的比例与速率和速率区间的大小有关； 2）率特大特小

5、分子数比例很小； 3）分子数之比在一定比率附近最大； 4）当气体种类或气体温度改变时，上述分布情况有所不同，但都具有上述特点。 2、麦克斯韦分子速率分布定律 1 速率分布函数 设N表示一定量气体中所含的分子总数，dN表示速度分布在vv+dv范围内的分子数，dN/N表示分子数在此速率范围内。数量占分子总数的百分比。从实验中可以看出，dN/N与dv成正比，并且与速度v有关。我们将这个关系写如下。该函数可以定量地反映给定气体在平衡时速度分布的具体情况。我们把这个函数称为速率分布函数。 2 麦克斯韦气体分子速度分布定律 1859年，麦克斯韦利用统计理论推导出气体分子速度分布定律：当气体处于平衡状态时，分布

6、任意速率区间vv+dv内的分子数与分子总数的比值称为麦克斯韦速率分布定律。式中，m为分子的质量； T为热力学温度； k 是玻尔兹曼常数。速率分布函数f(v的物理意义：f(v表示速率v附近单位速率区间内的气体分子数占分子总数的百分比。或者说任意气体分子的速率恰好在v 附近单位速率区间的概率，这样，f(v 的大小就定量地反映了分子在温度 T 下根据速率的具体分布。如果画出 f(vv 的变化曲线，即速率。分布曲线，如右图所示，与实验得到的分布结果是一致的，这说明速率分布函数与实际情况是一致的，为了加深理解，我们做如下解释： 1）概率。 ：在任意速率区间vv+dv中，取分布函数的大小为高值，速率为区间dv的宽值。

7、窄条的面积是分布在该区间的分子数占分子总数的百分比；或任何分子的速度恰好在此区间内的概率。 2) 表示速率分布在v1v2范围内的分子数占分子总数的百分比。或者任何分子的速度恰好在 v1v2 区间内的概率。 3) 归一化条件 ( ) 速率分布曲线下的总面积，代表每个速率区间内的分子数百分比之和，即 100%，应等于 1。这种关系由下式决定： f(v 本身的含义，或者说 f(v 必须满足的条件，因此称为分布函数的归一化条件。 4) 速率分布曲线以速率 v 为横轴，速率分布函数 f （v为纵轴，可以画出速率分布曲线，从这条曲线可以看出，曲线有一个最大值，这个最大值对应的速率称为最可能速率（ ）速度）。

8. Rate），其物理意义下面讨论。另外，从速率分布曲线的形状可以看出：速度很大和速度很小的分子所占的比例很小。 3、气体分子的三种统计速度。气体分子的速度可以从零到无穷大。速度很大和很小的分子相对数量较少，而速度中等的分子占分子总数的比例较大。 。这里我们讨论三个有代表性的分子的速度，这是分子速度的三个统计值。 1 最可能速度（最大速度） 1）定义：从f(v与v的关系曲线可以看出，f(v有最大值)，f(v最大值对应的速度为称为最可能速度，用vp表示。 2）物理意义：在一定温度下，最可能速度附近单位速率区间内气体分子的相对数量最多。

9、布函数是对v取一阶导数并置零得到的，即可以用摩尔质量来表示。注意：最可能发生率不是最大发生率。 2 平均速度（mean speed） 1）定义：大量气体分子速度的算术平均值称为平均速度，表示为。 2）计算：如果dN代表vv+dv区间内的气体分子数，则可以通过积分计算出平均速度，并通过速率分布函数得到。因此，平均速度为。考虑到积分公式的总和，平均速度以摩尔质量表示，有3个平均速度根（root-mean-speed）。前面我们根据理想气体的温度公式得到了气体分子的均方根速度。那么利用速率分布函数我们也可以得到同样的结论。由平均值的定义可得。 1) 定义：速度均方的平方根。 2）计算：对于气体分子，考虑

10.通过求和积分公式得到的平均速率以摩尔质量表示。关于这三个费率有 4 次讨论。 1) 三个速率均与温度的平方根成正比，与质量的平方根或摩尔质量的平方根成反比。温度越高，vp 摩尔质量越大，vp 越小。 2) 三个速率的顺序为， 3) 三个速率的含义不同，也有不同的含义。当讨论速率分布时，使用最可能的速率。当讨论分子碰撞时，使用平均值。当讨论分子的平均平移动能时，使用均方根率。例4：试求氮分子的平均平移动能、均方根速度和平均速度。设 (1) 为温度，(2) 为温度。解： (1) 在温度下，得到平均平移动能和均方根速度的公式 (2) 同理，在温度下，例5，尝试计算气体分子的热运动速率。和 之间的分子数占分子总数。百分比。解：根据题意，。这里，麦克斯韦速率分布定律被重写为以下简单形式：